有限自由卷积的正则性与收敛性

有限自由卷积 $\boxplus_d$ 和 $\boxtimes_d$ 是关于次数为 $d$ 的多项式的二元运算，构成自由概率与多项式几何交叉领域中新兴的有限自由概率的核心。本文受自由概率中既定规律的启发，探讨了有限自由卷积的类似规律。关键发现包括这些卷积的三角不等式，以及关于概率测度原子的必要且充分条件。本文结果的应用包括在不作紧致性假设的情况下，证明 $\boxplus_d$ 和 $\boxtimes_d$ 随着 $d \to \infty$ 收敛到其无限版本 $\boxplus$ 和 $\boxtimes$ 的弱收敛。进一步地，这种弱收敛被强化为Kolmogorov距离下的收敛。