源于二部图且与内多项式相关的具 $\gamma$-正性的自反多面体

本文中，我们引入源于根系 $B_n$ 与有限图 $G$ 的多面体 ${\mathcal B}_G$，并研究其组合与代数性质。特别地，我们证明 ${\mathcal B}_G$ 是自反的当且仅当 $G$ 是二部的。此外在二部情形下，${\mathcal B}_G$ 具有正则单模三角剖分。这意味着当 $G$ 为二部图时，${\mathcal B}_G$ 的 $h^*$-多项式是回文且单峰的。进一步，我们讨论更强的性质，即 $h^*$-多项式的 $\gamma$-正性与实根性。事实上，若 $G$ 为二部图，则 ${\mathcal B}_G$ 的 $h^*$-多项式是 $\gamma$-正的，且其 $\gamma$-多项式由一个内多项式（超图 Tutte 多项式的一种版本）给出。$h^*$-多项式有实根当且仅当相应的内多项式有实根。由 Neggers--Stanley 猜想的一个反例，我们构造了一个二部图 $G$，其 $h^*$-多项式非实根但 $\gamma$-正，并与一个球面的旗三角剖分的 $h$-多项式一致。