关于图的彩虹邻域数的思考

图 $G$ 关于其某一正常着色 $\C$ 的彩虹邻域,是指图 $G$ 中某顶点 $v$ 的闭邻域 $N[v]$,且该 $N[v]$ 包含图 $G$ 在着色 $\C$ 下所有颜色类的顶点。图 $G$ 中能够产生彩虹邻域的顶点数量称为其彩虹邻域数。在本文中,我们证明了迄今为止关于图 $G$ 彩虹邻域数的所有已知结果,均隐含地指代了在颜色分配遵循彩虹邻域约定的情况下,产生彩虹邻域的最小正常着色所对应的最小顶点数。放宽上述约定即可确定图 $G$ 的最大彩虹邻域数。我们还确立了最小与最大彩虹邻域数分别是唯一的,因此对于给定图而言均为常数。