参数系的约化与 Cohen--Macaulay 性质

设 $R$ 为局部环，($x_1\biss x_r$) 为有限生成 $R$-模 $M$ 的参数系的一部分，其中 $r < \dim_R M$。我们将证明，若 ($y_1\biss y_r$) 是 $M$ 的约化参数系的一部分，且满足 $(y_1\biss y_r)M=(x_1\biss x_r)M$，则 $(x_1\biss x_r)$ 本身即为约化的。此外，存在这样的 $M$ 的约化参数系的一部分，当且仅当对于所有满足 $\dim_R R/P = \dim_R M -r$ 的素理想 $P\in \supp M \cap V_R(x_1\biss x_r)$，$M$ 在 $P$ 处的局部化 $M_P$ 是 $R_P$ 上的 $r$ 维 \cm\ 模。进一步，我们将证明，$M$ 是 \cm\ 模当且仅当 $y_d$ 是 $M/(y_1\biss y_{d-1})M$ 上的非零因子，其中 $(y_1\biss y_d)$ 是 $M$ 的约化参数系（$d := \dim_R M$）。