希尔伯特模的约化子模与Chevalley-Shephard-Todd定理

设$G$为有限伪反射群，$\Omega\subseteq \mathbb C^n$为$G$-空间的有界域，$\mathcal H\subseteq\mathcal O(\Omega)$为具有$G$-不变再生核的解析希尔伯特模。我们研究乘法算子$\mathbf M_{\boldsymbol\theta}$在$\mathcal H$上的联合约化子空间的结构，其中$\{\theta_i\}_{i=1}^n$为与$G$相关的齐次参数系，$\boldsymbol\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_n)$是$\mathbb C^n$的多项式映射。我们证明它容许一族非平凡的联合约化子空间$\{\mathbb P_\varrho\mathcal H:\varrho\in\widehat G\}$，其中$\widehat G$为$G$的所有不可约表示等价类之集。我们证明$\Omega$上全纯函数代数$\mathcal O(\Omega)$的Chevalley-Shephard-Todd定理的一个推广。作为推论，我们证明对每个$\varrho\in \widehat G$，约化子空间$\mathbb P_\varrho \mathcal H$上的乘法算子$\mathbf M_{\boldsymbol\theta}$可实现为$\boldsymbol\theta(\Omega)$上$\mathbb C^{(\mathrm{deg}\,\varrho)^2}$值全纯函数的再生核希尔伯特空间中的坐标函数乘法。这进而给出了由从$\mathbb C^n$中域$\Omega$的适当全纯映射代表所诱导的乘法算子的联合约化子空间结构的描述，该域被自同构$G\subseteq {\rm Aut}(\Omega)$所因子化。