形式双 Eisenstein 空间的实现

我们引入了形式双 Eisenstein 空间 $\mathcal{E}_k$，它是 Gangl-Kaneko-Zagier 的形式双 zeta 空间 $\mathcal{D}_k$ 的推广，并证明了形式双 Eisenstein 级数的求和公式与奇偶结果的类似结论。我们证明了，对于某个 $\mathbb Q$-代数 $A$，$\mathbb Q$-线性映射 $\mathcal{E}_k\rightarrow A$ 可以由满足 Fay 恒等式的形式 Laurent 级数（系数在 $A$ 中）构造而成。作为典型例子，我们定义了 Kronecker 实现 $\rho^{\mathfrak{K}}: \mathcal{E}_k\rightarrow \mathbb Q[[q]]$，它提升了 Gangl-Kaneko-Zagier 的 Bernoulli 实现 $\rho^B: \mathcal{D}_k\rightarrow \mathbb Q$，其像由全模群的拟模形式组成。作为在模形式理论中的应用，我们得到了经典 Eisenstein 级数的 Ramanujan 微分方程的纯组合证明。