直线上的实数 Bers 嵌入：Fisher-Rao 线性化、Schwarzian 曲率与散射坐标

我们发展了 $\Diff^{-\infty}(\R)$ 中衰减控制微分同胚的实分析版本 Bers 嵌入，并建立其与 $L^p$ Fisher-Rao 几何在密度上的联系。对于 $p\in[1,\infty)$，$p$ 根映射 $\varphi\mapsto p(\varphi'^{1/p}-1)$ 等距地线性化 $\Diff^{-\infty}(\R)$ 上齐次 $\dot W^{1,p}$ Finsler 度量，得到显式的测地线和一个标准平坦联络，其欧拉测地方程为广义 Hunter-Saxton 方程；对于 $p=\infty$，对数坐标 $\varphi\mapsto\log\varphi'$ 提供全局等距嵌入，Schwarzian 导数作为 projective 曲率出现。我们通过该 Schwarzian 构造实数 Bers 映射 $\beta^{-\infty}:\Diff^{-\infty}(\R)/\Aff(\R)\to W^{\infty,1}(\R)$，证明其为 Fr\'echet 光滑的单射浸入态，其线性化可由显式 Volterra 算子给出 tame 右逆，并通过 Sturm-Liouville 谱理论描述其像。我们引入 $L^p$-Schwarzian 族 $S_p$ 用于在仿射 cocycle 和 project cocycle 之间插值，建立 $p\to\infty$ 时在 Fr\'echet 与 Orlicz-Sobolev 尺度上的完整渐近展开，并将 Bers 嵌入推广到 Orlicz 微分同胚群。通过 Jacobian 对应，这些结构传递到渐近于 Lebesgue 测度的密度流形上，其中非线性欧拉输运简化为点态 Riccati 定律，Schwarzian 成为支配 Fisher 信息的得分曲率。Bauer、Bruveris、Harms 和 Michor 关于 $L^p$ Fisher-Rao 线性化的紧凑型流形版本被概述为导向框架。