实分析方法在一些组合不等式表述中的应用

本文将 H\"{o}lder 不等式、Young 不等式与 Minkowski 不等式等著名实分析结果应用于递归定义的函数序列 $f_n$：\begin{align*} f_0(x) & = \chi_{(-1/2, 1/2)} (x), \nonumber f_{n+1}(x) & = f_n(x+1/2)+ f_n(x-1/2), n \in \mathbb{N}\,\cup \,\{0\}. \end{align*} 借此推导了一些新的组合不等式。为此，我们给出了上述函数序列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}\,\cup \,\{0\}}$ 的闭式，并表明它是一个简单函数序列，这些简单函数是若干单位区间 $I_{n,i},\, i=0,1, ..., n$ 的特征函数的线性组合，且在每个单位区间 $I_{n,i}$ 上取值为二项式系数 $\binom{n}{i}$。我们证明 $f_n \in L^p(\mathbb{R})),\, 1\leq p \leq \infty$。除应用实分析方法表述一些组合不等式外，我们也说明了若干组合恒等式的应用。例如，我们在研究函数序列 $(f_n)_{n\in\mathbb{ N}\cup \{0\}}$ 的某些性质时使用了 Vandermonde 卷积（或 Vandermonde 恒等式）。我们展示了 $f_n$ 的 $L^2$ 范数如何与 Catalan 数相关联。