等变希尔伯特级数的有理性与渐近性质

在相应的诺特多项式代数 $\mathbf{P}$ 上的 FI- 或 OI-模 $\mathbf{M}$ 可视为多项式环 $\mathbf{P}_n$ 上相容模 $\mathbf{M}_n$ 的序列，其中变量个数随 $n$ 线性依赖。为研究模 $\mathbf{M}_n$ 随 $n$ 变化的不变量的性质，在 $\mathbf{M}$ 分次时引入等变希尔伯特级数。若 $\mathbf{M}$ 亦为有限生成，则证明该级数为有理函数。此外，若将此函数写为最简形式，可获得关于分母不可约因子的相当精确的信息。这是应用的关键。由此推得模 $\mathbf{M}_n$ 的克鲁尔维数最终随 $n$ 线性增长，而 $\mathbf{M}_n$ 的重数最终随 $n$ 指数增长。而且，对任意固定次数 $j$，$\mathbf{M}_n$ 的次数 $j$ 分量的向量空间维数最终随 $n$ 多项式增长。作为推论，在固定同调次数与固定内次数下 $\mathbf{M}_n$ 的任意分次贝蒂数最终随 $n$ 多项式增长。此外，获得了支持如下猜想的证据：即 $\mathbf{M}_n$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性与射影维数均最终随 $n$ 线性增长。还证明了宽度 $n$ 分量 $\mathbf{M}_n$ 最终为阿廷的模可由其等变希尔伯特级数刻画。利用正则语言与有限自动机，给出了计算等变希尔伯特级数的算法。