刚性问题 Calabi-Yau 三折中的有理曲线

我们确定了所有 Kummer 曲面型 Calabi-Yau (CY) 三折，即那些 $\hat{T/G}$，它们是仅带孤立奇点的 3-环面 orbifold $T/G$ 的分解。这样的 CY 空间只有两种：一种 $G=\mathbb{Z}_3$ 且 $T$ 为携带 3 阶自同构的 1-环面三重积，另一种 $G=\mathbb{Z}_7$ 且 $T$ 为 Klein 四次曲线的 Jacobian。这些 CY 三折 $\hat{T/G}$ 均为刚性的，故这两个簇各自均无复结构形变。我们进一步通过考虑以某种方式同例外除子相交的 $C$ 中元素计数 $d$，研究 $\hat{T/G}$ 中不含于例外除子的 $\mathbb{P}^1$-曲线 $C$ 的问题。我们得到了 $d$ 的约束。在最小数 $d$ 下，两种情形中 $C$ 在 $\hat{T/G}$ 中的完全解均被得到。在 $G=\mathbb{Z}_3$ 情形，我们导出了构造 $\hat{T/G}$ 中 $C$ 的有效方法，并借此过程得到了某些其他 $d$ 的有理曲线的显式形式。