单峰景观中的快速混合与多峰分布的高效模拟退火

我们考虑在$d$维盒子$[n]^d$上的最近邻加权随机游走，其由某函数$g:[0,1] \ra [0,\iy)$支配，即意味着：立于$x$处时，随机选取$x$的邻居$y$，随后该游走以概率$(1/2)g(n^{-1}y)/(g(n^{-1}y)+g(n^{-1}x))$移向该处。我们对形如$f^{m_n}$的$g$进行上述研究，其中$f$为某假定解析性质良好且$m_n \ra \iy$（当$n \ra \iy$）的函数。此类游走涵盖大量有趣特例，例如平均场Potts模型、潜在狄利克雷分配的后验坍缩吉布斯采样，以及核物理中模型的某些贝叶斯后验。本文结果包括：\begin{itemize} \item 若$f$为单峰且在其全局极大值处黑塞矩阵负定，则随机游走的混合时间为$O(n\log n)$。 \item 若$f$为多峰，则混合时间关于$n$指数级，但我们证明存在由$f^K$（对递增的$K$序列）支配的模拟退火方案，可在$O(n^2)$时间内混合。通过使用随$K$递减的变步长，该时间可降至$O(n\log n)$。 \item 若过程在一般图而非$d$维盒子上研究，则以底层网络电导表示的模拟退火方案同样有效。\end{itemize} 给出了若干示例，包括上述提及者。