马尔可夫演化随机稀疏生成元及其谱性质

复杂多状态系统的演化常被解释为连续时间马尔可夫过程。为建模此类系统的弛豫动力学，我们引入一类随机稀疏矩阵系综，可用作马尔可夫演化的生成元。稀疏性由参数 $\varphi$ 控制，即生成元矩阵每行与每列的非零元素个数。因此，该系综的一个成员由具有 $D$ 个顶点（系统状态数）和 $2 \varphi D$ 条带随机权重边的有向正则图的拉普拉斯矩阵刻画。我们研究稀疏性对生成元谱的影响。研究表明，稀疏性会闭合非稀疏随机生成元所特有的大谱隙。我们证明特征值分布的一阶矩随 $\sim \varphi$ 缩放，而其方差为 $\sim \sqrt{\varphi}$。利用极值理论，我们展示了谱边缘的形状如何由相应权重分布的尾部决定，并阐明了谱隙随 $D$ 的行为。最后，我们分析了超稀疏生成元（$\varphi = \mathrm{const}$）的复间距比统计，发现从 $\varphi \geqslant 2$ 起，生成元的谱即展现出 Ginibre 正交系综典型的普适性质。