椭球的随机截面与随机信息的能力

我们研究了 $m$ 维椭球 $\mathcal E$（其半轴为 $\sigma_1\geq\dots\geq \sigma_m$）与余维数为 $n$ 的随机子空间的交集的外接半径。我们发现，在对 $\sigma$ 的某些假设下，该随机半径 $\mathcal{R}_n=\mathcal{R}_n(\sigma)$ 以高概率与最小此类半径 $\sigma_{n+1}$ 同阶。在其他情况下，$\mathcal{R}_n$ 接近最大值 $\sigma_1$。随机变量 $\mathcal{R}_n$ 自然对应于基于随机信息对来自紧嵌入 Hilbert 空间 $H$（其单位球为 $\mathcal E$）的函数进行 $L_2$ 逼近时，最佳算法的最坏情况误差。特别地，$\sigma_k$ 是嵌入 $H\hookrightarrow L_2$ 的第 $k$ 大奇异值。在此表述下，也可以考虑 $m=\infty$ 的情况，我们证明了随机信息的表现因 $\sigma \in \ell_2$ 与否而截然不同。对于 $\sigma \notin \ell_2$，随机信息完全无用，即 $\mathbb E[\mathcal{R}_n] = \sigma_1$。对于 $\sigma \in \ell_2$，随机信息的期望半径以至少 $o(1/\sqrt{n})$ 的速率趋于零（当 $n\to\infty$ 时）。在 $\sigma_k \asymp k^{-\alpha} \ln^{-\beta}(k+1)$（其中 $\alpha > 0$ 且 $\beta\in\mathbb R$）的重要情况下，我们得到 $$\mathbb E [\mathcal{R}_n(\sigma)] \asymp \begin{cases} \sigma_1 & : \alpha<1/2 \,\text{ or }\, \beta\leq\alpha=1/2 \ \sigma_n \, \sqrt{\ln(n+1)} & : \beta>\alpha=1/2 \ \sigma_{n+1} & : \alpha>1/2. \end{cases}$$ 在证明中，我们使用了类似于 Gordon 的 Gauss 过程比较结果、卡方随机变量之和的指数估计，以及（结构化）Gauss 随机矩阵极端奇异值的估计。上界是构造性的，针对最小二乘估计器的最坏情况误差进行了证明。