希尔伯特空间上随机位求积与分布近似

我们研究取值于可分离希尔伯特空间 $H$ 的高斯随机元 $X$ 与利普希茨连续泛函 $f \colon H \to \R$ 的期望 $\E(f(X))$ 的近似。我们考虑限制蒙特卡洛算法，其只能使用随机位而非随机数。我们根据 $X$ 的协方差算子特征值的衰减，确定了相应第 $n$ 最小误差的渐近性（某些情况下精确到乘法常数以内，其他情况下精确到对数因子以内）。结果表明，在上述界限内，限制蒙特卡洛算法不劣于任意蒙特卡洛算法，且合适的随机位多层算法是最优的。该问题的分析引出了量化问题的一个变体，即利用给定有限个点支撑的均匀分布来最优近似 $H$ 上的概率测度。我们确定了一维标准正态分布、上述高斯测度以及标量自治 SDE 的最佳近似误差的渐近性（精确到乘法常数以内）。