用于混合分布与分段线性插值逼近分布的拟蒙特卡洛方法

我们研究 $\mathbb{R}^s, s\ge1$ 中有界区域上关于某概率测度的数值积分。我们用拟蒙特卡洛方法替代随机采样，其底层点集源自确定性构造，旨在比随机点更均匀地填充空间。此类拟蒙特卡洛点集通常为均匀测度设计，且理论仅在使用坐标变换时适用于乘积测度。超越此设定，我们首先考虑目标密度为每个分量均来自乘积分布的混合分布的情形。接下来我们考虑可用此类混合分布逼近的目标密度。我们要求逼近式为坐标向乘积之和，且处处为正（从而可重新缩放为概率密度函数）。为此我们使用张量积帽函数逼近，因为正函数的帽函数逼近本身为正。我们还研究了更复杂的算法：先用一般高斯混合分布逼近目标密度，再用旋转区间上的自适应帽函数逼近来近似各混合分量。高斯混合逼近使我们能定位目标密度的关键部分，而自适应帽函数逼近使我们能逼近目标密度的精细结构。我们基于具有有界混合偏导数的被积函数，证明了每种基于拟蒙特卡洛采样的积分技术的收敛速率。所采用的算法基于有限域 $\mathbb{F}_2$ 上的数字 $(t,s)$-序列和一种逆变换方法。数值例子说明了算法对某些目标密度和被积函数的性能。