传输高阶求积规则：混合分布的拟蒙特卡洛点与稀疏网格

对高维概率分布的积分以及由此而来的采样在许多应用领域至关重要，且数十年来一直是活跃的研究领域。近年来日益受到关注的一种方法是使用传输映射从目标分布 $\mathbb{P}_{\mathrm{tar}}$ 生成样本：若 $\mathbb{P}_{\mathrm{tar}} = T_\# \mathbb{P}_{\mathrm{ref}}$ 是易采样概率分布 $\mathbb{P}_{\mathrm{ref}}$ 在传输映射 $T$ 下的推前，则对 $\mathbb{P}_{\mathrm{ref}}$ 分布样本应用 $T$ 可得到 $\mathbb{P}_{\mathrm{tar}}$ 分布样本。本文提出将传输映射不仅应用于随机样本，还应用于拟蒙特卡洛点、高阶网和稀疏网格，以使变换后的样本继承通常优于 $N^{-1/2}$ 的原始收敛速率，$N$ 为样本数/求积节点数。我们的主要结果是针对 $\mathbb{P}_{\mathrm{tar}}$ 为简单分布混合（例如高斯混合）的情况推导显式传输映射，此时传输映射 $T$ 的应用需要求解一个具有闭式右端项的显式 ODE。混合分布具有特殊适用性和意义，因为许多方法先以混合近似 $\mathbb{P}_{\mathrm{tar}}$ 再从中采样（常使用重要性重加权）。因此，本文使此类方法中的采样步骤能提供优于 $N^{-1/2}$ 的收敛速率。