随机鞅与极大不等式的局部化

设$(X,d,\mu)$为一个度量测度空间。对于$\emptyset\neq R\subseteq (0,\infty)$，考虑Hardy-Littlewood极大算子$$M_R f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{r \in R} \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f| d\mu.$$我们证明，如果存在一个$n>1$使得对所有$x\in X$和$r>0$都有“微加倍条件”$\mu(B(x,(1+\frac{1}{n})r))\lesssim \mu(B(x,r))$，那么$M_R$的弱$(1,1)$范数具有如下局部化性质：$$\|M_R\|_{L_1(X) \to L_{1,\infty}(X)}\asymp \sup_{r>0} \|M_{R\cap [r,nr]}\|_{L_1(X) \to L_{1,\infty}(X)}.$$一个直接推论是，如果$(X,d,\mu)$是Ahlfors-David $n$-正则的，那么$M_R$的弱$(1,1)$范数为$\lesssim n\log n$，推广了Stein和Strömberg的一个结果。我们通过构造一个Ahlfors-David $n$-正则的度量测度空间$(X,d,\mu)$，使得$M_{(0,\infty)}$的弱$(1,1)$范数为$\gtrsim n\log n$，证明了该界是紧的。$M_R$的局部化性质是通过将每个$f\in L_1(X)$分配到一个关于{\em 随机}鞅的分布上来证明的，其中相关的（随机）Doob极大不等式控制了$M_R$的弱$(1,1)$不等式。