石墨烯的随机特征值与平面三角剖分

我们分析了两个重要正则晶格上长度为 $k\in\mathbb{N}$ 的闭路径数目：六角晶格（在化学中亦称 $\textit{graphene}$，即石墨烯）及其对偶三角晶格。这些数目构成特定随机变量的矩序列，该随机变量与平面随机飞行（三步）位置到原点距离相关。此处，我们将此类随机变量称为底层晶格的 $\textit{random eigenvalue}$（随机特征值）。对六角晶格与三角晶格，均给出了这些随机特征值的密度函数与特征函数的显式公式。进一步证明，当 $b\to\infty$ 时，两种概率分布均可由在区间 $[0,b]$ 上均匀分布的随机变量的泛函在渐扩区间上一致逼近。这给出了一种无需生成石墨烯与三角晶格图即可模拟这些随机特征值的直接方法。为展示该逼近，我们首先证明了一个含 $n$ 阶修正贝塞尔函数 $I_n$（$n\in\mathbb{Z}$）三次幂特定级数的关键积分恒等式。此类级数在诸多领域尤其分析、组合与理论物理中发挥关键作用。