随机康托集与量子系统局域谱中的微带

本文针对具有非遍历扩展相的无序系统，给出了其奇异连续谱的一种物理上直观的图像。我们提出了一个局域态密度谱中独立同分布能级间距的简单模型，并展示了在特征函数振幅的宽分布下该分布如何出现重尾。对于具有幂律局域间距分布的模型，我们推导了局域态密度的关联函数 $K(\omega)$，并表明取决于特征函数分形维数 $D_{2}$ 与编码于幂律间距分布中的谱分形维数 $D_{s}$ 之间的关系，可能出现随机康托集的奇异连续谱或孤立微带的奇异连续谱。在自由度无穷多的极限下，非遍历扩展相中的函数 $K(\omega)$ 在 $\omega=0$ 处是奇异的：随机康托集情形为分支割奇异，孤立微带情形为 $\delta$ 函数奇异。对于绝对连续谱，$K(\omega)$ 在 $\omega\rightarrow 0$ 时趋于有限极限。对于任意局域间距分布函数，我们给出了局域谱分形性的判据，并在简单例子上进行了验证。