面向Gyárfás–Sumner猜想的关于诱导覆盖与诱导划分的拉姆齐型问题

Gyárfás与Sumner各自猜想：对每棵树$T$，存在函数$f_T:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，使得每个无$T$图$G$满足$\chi (G)\leq f_T(\omega (G))$，其中$\chi (G)$与$\omega (G)$分别为$G$的色数与团数。该猜想给出了一个关于色数的拉姆齐型问题的解。对图$G$，其诱导SP-覆盖数${\rm inspc}(G)$（相应地，诱导SP-划分数${\rm inspp}(G)$）是指$G$的诱导子图族$\mathcal{P}$的最小基数，使得$\mathcal{P}$中每个元素为星或路，且$\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(G)$（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(G)$）。这两个不变量是与色数直接相关的概念。基于这一事实，我们关注不变量${\rm inspc}$与${\rm inspp}$的拉姆齐型问题，它们类比于Gyárfás–Sumner猜想，并解决了这些问题。作为我们结果的推论，还解决了其他广泛研究不变量的拉姆齐型问题。