素数上的算术 Ramsey 理论

我们研究了素数变量中多项式方程的密度和划分性质。我们考虑形式为 $a_1h(x_1) + \cdots + a_sh(x_s)=b$ 的方程，其中 $a_i$ 和 $b$ 是固定系数，$h$ 是任意 $d$ 次整数多项式。只要变量数至少为 $(1+o(1))d^2$，我们就建立了该方程关于素数的任何有限着色具有单色非常数解的充要条件。类似地，我们刻画了此类方程在任何具有正相对上密度的素数集上何时有解。在这两种情况下，我们都获得了计数结果，为素数中单色解或稠密解的数量提供了渐近尖锐的下界。我们的主要新工具是对素数多项式 Bohr 集基数的统一 lower bound。