差分薛定谔算子的辐射条件

考虑在格点 $\mathbb{Z}^{d}$ 上确定薛定谔方程 $\left(\Delta+q-\lambda\right) \psi=f$ 的唯一解的问题，其中 $\Delta$ 为差分拉普拉斯算子，且 $f$ 和 $q$ 均具有有限支撑。研究表明，在 $Sp(\Delta)=[-2d,2d]$ 上存在一组例外点集 $S_{0}$，即使对于未扰动算子（$q(x)=0$），极限吸收原理也失效。该例外集由当 $d$ 为偶数时的点 $\left\{ \pm4n\right\}$ 以及当 $d$ 为奇数时的点 $\left\{ \pm2(2n+1)\right\}$ 组成。对于 $\lambda \in[-2d,2d]\backslash S_{0}$ 的所有值，找到了辐射条件，其筛选出的该问题的解与由极限吸收原理确定的解相同。这些解是若干以不同频率传播的波的叠加，且波的数量取决于 $\lambda$ 的值。