乘积间的竞赛

我们将重新审视拉比·埃伦普雷斯（Rabbi Ehrenpreis）于 1987 年提出的一个问题。在众多成果中，我们将提供一个初等的单射证明，即对于任意 $L,n>0$ 及任意奇数 $y>1$，均有 $P_1(L,y,n) \ge P_2(L,y,n)$。其中，$P_1(L,y,n)$ 表示将 $n$ 分拆为模 $2(y+1)$ 同余于 $1, y+2$ 或 $2y$ 的部分，且最大部分不超过 $2(y+1)L-2$ 的分拆数；$P_2(L,y,n)$ 表示将 $n$ 分拆为模 $2(y+1)$ 同余于 $2, y$ 或 $2y+1$ 的部分，且最大部分不超过 $2(y+1)L-1$ 的分拆数。