Rényi可解性、噪声稳定性与反收缩性

本文研究三个密切相关的主题——Rényi可解性、噪声稳定性和反收缩性。Rényi可解性问题是指在给定均匀随机变量的函数作为输入时，在Rényi散度下逼近给定信道的目标输出分布。该问题在Rényi参数$(0,2]\cup\{\infty\}$范围内最早由本文作者和Tan于2019年研究。在本文中，我们为整个范围$\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$内的Rényi参数提供了该问题的完整解。然后，我们将Rényi可解性问题与噪声稳定性问题联系起来，观察到最大化或最小化集合的$q$-稳定性等价于Rényi可解性问题的一个变体。通过这种联系，我们给出了$q$-稳定性的尖锐无维数界。最后，我们将噪声稳定性问题与马尔可夫算子（即条件期望算子）的反收缩性联系起来，其中我们引入的术语“反收缩性”指的是众所周知的收缩性/超收缩性的相反性质。我们推导了尖锐的无维数反收缩性不等式。本文中的所有结果均针对二进制分布进行评估。本文的证明主要基于类型方法，特别是加强版本的打包-覆盖引理。