隐藏目标与极值曲面的最快检测

设 $Z=(Z_t)_{t\ge0}$ 为从 $0$ 出发的正则扩散过程，$\ell$ 为具有严格递增连续分布函数 $F$ 的独立随机变量，$\tau_{\ell}=\inf\{t\ge0\vert Z_t=\ell\}$ 为 $Z$ 首次进入水平 $\ell$ 的时间。我们证明，最快检测问题 $$\inf_{\tau}\bigl[\mathsf{P}(\tau<\tau_{\ell})+c\mathsf{E}(\tau -\tau_{\ell})^+\bigr]$$ 等价于（三维）最优停时问题 $$\sup_{\tau}\mathsf{E}\biggl[R_{\tau}-\int _0^{\tau}c(R_t)\,dt\biggr],$$ 其中 $R=S-I$ 是 $X=2F(Z)-1$ 的极差过程（即 $X$ 的运行最大值与运行最小值之差），且 $c(r)=cr$，$c>0$。通过求解后者问题，我们发现以下停时是最优的：$$\tau_*=\inf \bigl\{t\ge0\vert f_*(I_t,S_t)\le X_t\le g_*(I_t,S_t)\bigr\},$$ 其中曲面 $f_*$ 和 $g_*$ 可表征为用 $X$ 的无穷小特征和 $c$ 表示的一对一阶非线性偏微分方程的极值解。这是通过将极大性原理 [Ann. Probab. 26 (1998) 1614-1640] 相关的论证推广至本问题的三维情形，并揭示适用于所有特例的解的一般结构而实现的。证明中发展的关键论证应适用于类似的多维情形。