四元数根系与$Aut(F_{4})$的子群
高能物理 - 理论
2009-11-11 v2
摘要
使用Cayley-Dickson加倍过程，以实数、复数、四元数和八元数等除法代数的整数元素来构造一些著名李代数的根系。从用实数表示的SU(2)的根和权出发，可以用除法代数的离散元素构造SO(4)、SP(2)=SO(5)、SO(8)、SO(9)、F_{4}和E_{8}等李代数的根系。这些根本身展示了群结构，而E_{8}的八元数根则形成一个封闭的八元数代数。F_{4}的Dynkin图的自同构群Aut(F_{4})，阶为2304，是4维欧几里得空间中最大的晶体学群，被实现为两个二元八面体四元数群的直积，它们保持F_{4}的四元数根系。许多李代数的Weyl群，如G_{2}、SO(7)、SO(8)、SO(9)、SU(3)XSU(3)和SP(3)X SU(2)，已被构造为Aut(F_{4})的子群。我们还对Aut(F_{4})中非Weyl群的其他非抛物子群进行了分类。两个阶为192且具有不同共轭类的子群作为李群的有限子群（阶分别为12096和1344）中的极大子群出现，并证明它们在构造中很有用。SO(8)的三重性表现为四元数虚单位e_{1},e_{2},e_{3}的循环对称性，被用来证明SO(7)和SO(9)可以分别以三重对称方式嵌入SO(8)和F_{4}。
引用
@article{arxiv.hep-th/0510172,
title = {Quaternionic Root Systems and Subgroups of the $Aut(F_{4})$},
author = {Mehmet Koca and Ramazan Koc and Muataz Al-Barwani},
journal= {arXiv preprint arXiv:hep-th/0510172},
year = {2009}
}