量子谱曲线、量子可积系统与几何Langlands对应

谱曲线是经典可积系统现代理论中的关键要素。我们发展了一种“量子谱曲线”的构造，并论证它在量子层面也扮演着类似的结构性和统一性角色。在最简单但本质的情形下，“量子谱曲线”由公式“det”(L(z)-dz) [Talalaev04] (hep-th/0404153)给出。作为我们构造的一个简单应用，我们得到以下结果：一个相当普遍的从经典哈密顿量定义量子交换哈密顿量的方法，特别是U(gl(n)[t])/t^N和U(\g[t^{-1}])\otimes U(t\g[t])中极大交换子代数的显式描述；它与仿射代数中心的联系；中心生成元的显式公式以及对W-代数生成元的猜想；获得这些结果的q-变形的方法；Langlands对应的简单而显式的构造；“量子谱曲线”与Knizhnik-Zamolodchikov方程之间的联系；KZ方程的新推广；关于KZ方程在特殊能级下解的有理性的猜想。在最简单的情形下，我们观察到“量子谱曲线”与所谓的Baxter方程一致。与KZ方程的联系为构造Baxter的Q-算子提供了一种新的强大方法。