由积分表示得到的量子 Rényi 与 $f$-散度

光滑 Csiszár $f$-散度可表示为所谓曲棍球棒散度的积分。这启发了用量子曲棍球棒散度进行自然量子推广，我们在此加以探讨。依此构造，Kullback-Leibler 散度推广为 Umegaki 相对熵，即 Frenkel 最近发现的积分形式。我们发现由新量子 $f$-散度定义的 Rényi 散度一般不可加，但其正则化出人意料地给出 $\alpha < 1$ 时的 Petz Rényi 散度与 $\alpha > 1$ 时的夹心 Rényi 散度，从而统一了这两类重要的量子 Rényi 散度族。此外，我们发现新量子 $f$ 散度对所有算子凸的 $f$ 的收缩系数发生坍缩，模仿了经典行为并解决了 Lesniewski 与 Ruskai 的一些长期猜想。我们推导了若干不等式，包括具有差分隐私应用的新逆 Pinsker 不等式，并探讨了新散度的其他应用。