量子多圆盘、量子球与 Poincaré 定理的 $q$-类比

经典 Poincaré 定理 (1907) 断言，当 $n\ge 2$ 时，$\mathbb C^n$ 中的多圆盘 $\mathbb D^n$ 与球 $\mathbb B^n$ 不是双全纯等价的。等价地，这意味着全纯函数的 Fréchet 代数 $\mathcal O(\mathbb D^n)$ 与 $\mathcal O(\mathbb B^n)$ 不是拓扑同构的。我们的目标是证明上述结果的非交换版本。给定 $q\in\mathbb C\setminus\{ 0\}$，我们定义了两个非交换幂级数代数 $\mathcal O_q(\mathbb D^n)$ 和 $\mathcal O_q(\mathbb B^n)$，它们可分别视为 $\mathcal O(\mathbb D^n)$ 和 $\mathcal O(\mathbb B^n)$ 的 $q$-类比。$\mathcal O_q(\mathbb D^n)$ 和 $\mathcal O_q(\mathbb B^n)$ 均为代数量子仿射空间 $\mathcal O_q^{\mathrm{reg}}(\mathbb C^n)$ 关于某些半范数族的完备化。在 $0<q<1$ 的情形下，代数 $\mathcal O_q(\mathbb B^n)$ 存在一个与 L. L. Vaksman 的闭量子球上连续函数代数相关的等价定义。我们表明，$\mathcal O_q(\mathbb D^n)$ 和 $\mathcal O_q(\mathbb B^n)$ 均可解释为 $\mathcal O(\mathbb D^n)$ 和 $\mathcal O(\mathbb B^n)$ 的 Fréchet 代数形变（在适当意义下）。我们的主要结果是：若 $n\ge 2$ 且 $|q|=1$，则 $\mathcal O_q(\mathbb D^n)$ 与 $\mathcal O_q(\mathbb B^n)$ 不同构；但若 $|q|\ne 1$，则它们同构。