量子完整变换与海森堡群

环面 $T^2$ 上闭路径的量子完整变换被解释为海森堡群 $H_1$ 的元素。群 $H_1$ 中的群复合对应于路径拼接，群交换子是基础群 $\pi_1$ 的关系元的形变，明确了同伦路径的量子完整变换之间的有符号面积相位。 $H_1$ 的内自同构调整这些有符号面积，而 $H_1$ 的离散辛变换生成 $T^2$ 的模群。