具有引力与热类比的量子 Grover 测地线路径

我们给出了量子态矢量和量子概率幅的 Grover 测地线的统一变分法推导。在第一种情形中，我们表明，归一化矢量 Hilbert 空间上的水平仿射参数化测地线路径，源于对 Hilbert 空间射线流形上由 Fubini-Study 度量所规定长度的最小化。在第二种情形中，我们证明概率幅的测地线路径通过最小化以 Fisher 信息表示的长度而得到。在这两种推导中，我们发现测地方程均由简谐振子（SHO）描述。然而，在第一种推导中振荡频率正比于（常值）哈密顿系统能量弥散，而在第二种推导中振荡频率正比于（常值）Fisher 信息的平方根。有趣的是，通过令这两个频率相等，我们恢复了著名的 Anandan-Aharonov 关系，该关系将哈密顿系统的演化平方速度与能量弥散联系起来。最后，在脱离量子设定后，我们通过分别分析引力和热力学起源的两个具体现象，讨论了在守恒量存在下 SHO 型测地运动出现的普遍性。