楔形台球中自由粒子的量子与经典解

我们研究了约束在角度为 $\theta_w$ 的扇形圆台球及其角度为 $2\pi-\theta_w$ 的 pacman 补形内部运动的粒子的量子与经典解。在这些台球中旋转不变性被打破，角动量不再是守恒的量子数。“分数”角动量量子解由分数阶 Bessel 函数给出，其指标对于扇形为 $\lambda_p={p\pi \over {\theta_w}}$、$p=1,2,...$，对于 pacman 为 $\mu_q={q\pi \over {2\pi - \theta_w}}$、$q=1,2...$。我们导出了由两个分数指标给出的“对偶”关系：$\lambda_p={{p\mu_q} \over {2\mu_q - q}}$ 和 $\mu_q = {{q\lambda_p} \over {2\lambda_p - p}}$。我们发现角动量 $\hat L_z$ 的平均值为零，但 $\hat L^2_z$ 的平均值具有本征值 $\lambda_p^2$ 和 $\mu_q^2$。我们还将某些经典解与其量子波本征函数对应体建立了联系。