量化不可区分性与因子型 IID percolation 中的稀疏与稠密簇

Chifan-Ioana (2010) 表明，对任意因子型 IID percolation（在任意非亚温格 Cayley 图 G 上），存在不可数个（强）不可区分性类别，用于非亚温格簇。我们引入量化强化版本，称为 (qI) 和 (qSI)：对于 η-非亚温格簇，在任意 FIID percolation 中，不存在超过 M(G,η)<∞ 的（强）不可区分性类别。我们首先证明 (qI) 和 (qSI) 对任意 G 均等价于“稀疏即稀薄”性质 (SiT)：任意 FIID percolation 若包含 η-非亚温格簇，则其密度至少为 c(G,η)>0。此外，(SiT) 与群的有限生成集独立。我们利用熵不等式证明 (SiT) 对于自由群成立，即使针对弱 FIID 亦成立。另一方面，Jardón-Sanchez、Mellick、Poulin 和 Wróbel 最近的工作表明 (SiT) 在非准确群（即不具备 (A) 属性）上的弱 FIID 中失败。Furthermore，(SiT) 表明对任意非亚温格 FIID 簇的 Bernoulli 图是强 Ergodic，且非亚温格 FIID 簇的不可区分性等价于强不可区分性。这些结果均源自 Chifan-Ioana 对每个非亚温格 Cayley 图的工作，但采用非概率性证明。我们又一次利用熵不等式，对所有非亚温格 Cayley 图，证明期望度数足够大的 FIID percolation 必然拥有接近 1 的密度，并且必须存在单一不可区分性类别。对 Kazhdan 群，必然存在单个此类簇。我们的结果也具有有限版本：在任意 girth 足够大的 d 正则图序列中，平均度数至少为 2+δ 的任意 FIID 子图必须拥有至少 c(d,δ)>0 的密度。在均匀随机 d 正则图 G_{n,d} 中，这一性质对平均度数至少为 2+δ 的每个子图均成立。