有限群中的因子与完备图

我们研究有限群中子集的一个组合性质，其类似于图中独立集的概念。给定群 G 与非空子集 A ⊂ G，我们定义（右）s-因子为子集 B ⊂ G 满足以下条件：(i) AB 中的每个元素可唯一表示为 ab，其中 a ∈ A 且 b ∈ B；(ii) B 是具有此属性的最大子集（相对于包含关系）。对于有限群 G，A 的上指数与下指数分别为与 A 相关的 s-因子的最大大小与最小大小。若上指数与下指数相等，则称该子集为稳定的。若群中所有子集均为稳定的，则称该群为稳定的。我们随后探讨了群中 s-因子与图中最大独立集之间的联系。具体而言，我们证明与 A 相关的 s-因子对应于 Cayley 图 Cay(G, S) 中的最大独立集，其中 S = A⁻¹A \ {e}。因此，A 的上指数与下指数分别等于关联 Cayley 图的独立数与独立支配数。s-因子、子集指数、稳定子集及稳定群（在不同名称下）由 Hooshmand 于 2020 年提出。后来，Hooshmand 与 Yousefian-Arani 使用计算机计算对稳定群进行了分类。利用图的联系，我们计算了各种群及其子集的上指数与下指数。此外，我们证明了一项描述所有稳定群的分类定理，且无需依赖计算机计算。