基于单调与次模集函数的Bernstein-Durrmeyer-Choquet算子逼近的定量估计

对于\cite{Gal-Opris}中获得的逐点与一致逼近的定性结果，我们给出了用连续模和$K$-泛函表示的通用定量估计，针对广义多元Bernstein-Durrmeyer算子$M_{n, \Gamma_{n, x}}$，该算子用关于标准$d$维单纯形上一族单调且次模的集函数$\Gamma_{n, x}$的Choquet积分写出。当$\Gamma_{n, x}$退化为两个元素，一个是Choquet次模集函数，另一个是Borel测度时，对于适当修正的Bernstein-Durrmeyer算子，证明了以$K$-泛函估计的单变量$L^{p}$-逼近，$p\ge 1$。在$d=1$且Choquet积分取某些具体可能性测度的特殊情形下，详细给出了基于连续模的逐点估计。给出了一些改进经典误差估计的算子的简单具体例子。还提到了对处理数据的实用方法（如学习理论和回归模型）的潜在应用。