算术统计中的二次曲面

我们（重新）将圆法引入算术统计。更具体地说，我们将圆法与Bhargava的计数技术相结合，给出一种通用方法，可用于处理如下算术统计问题：试图计数由某个二次不变量消失所定义的仿射空间子簇上的轨道。我们通过例子阐释该方法，计算了族 $y^2 = x^3 + B$ 与 $y^2 = x^3 + B^2$ 中 $2$-Selmer群的平均大小。在论证过程中，我们引入了Bhargava上述方法的平滑形式，以及一个技巧，借此我们从“无约束”族上的平均值形式地推得上述平均值为 $3$。