QAOA-MaxCut 在几乎所有图上存在枯竭坡度

QAOA 已是近年来备受广泛关注的研究对象，但其对应的动态李雅普尔代数(DLA)——量子变分算法可表达性和可训练性的关键指标——在高度对称实例之外仍鲜为人知。指数级 DLA 维度与所谓枯竭坡度(Barren Plateau, BP)在优化景观中呈现相关，这使得训练变得不可行。本文研究了应用于标准 MaxCut 的 QAOA 的 DLA，涵盖加权图和非加权图两种情况。对于加权图，我们指出，当权重取自连续分布时，DLA 维度几乎必然以 $\Theta(4^n)$ 增长，适用于除路径和环形图之外的所有连通图。在更常见的非加权情形下，我们指出，几乎所有但仅占指数级微分率的图都具有 $\Theta(4^n)$ 的大型 DLA 维度。我们还识别了相应 DLA 的整个简单李代数分解，据此我们证明损失函数的方差为 $O(1/2^n)$，这表明这些加权和非加权图上的 QAOA 都受到 BP 的困扰。此外，我们给出了若干家族图的显式构造，其 DLA 具有指数级维度，包括 MaxCut 属于 $\mathsf{P}$ 的情形。我们的非加权情形证明基于若干分割引理和 DLA 无关性条件，这些条件允许将难以处理的李代数问题转换为易于处理的图论问题。这些构成了一种新的算法，其计算速度比以前的方法快几个数量级，将运行时间从几天缩短到标准硬件上的秒级。我们将该算法应用于 MQLib，一套覆盖超过 3500 个实例、最多 53130 个顶点的经典 MaxCut 基准套件，发现忽略边权后，至少 75% 的实例具有至少 $2^{128}$ 维的 DLA。