关于鞅域上元素共轭的纯度与距离

对于鞅域 $(K,v)$ 和一个可分离代数元 $a\in\overline{K}\setminus K$，我们考虑集合 $S_K(a):= \{ v(a-a^\prime) \mid a^\prime\neq a \text{ 是 } K \text{-共轭的 } a \}$。本文的中心目标是为集合 $S_K(a)$ 的基数提供界限，并刻画使该集合为单元素集的元素 $a$。本集合与元素深度（depth）的关系也被探索。我们证明，当 $K(a)|K$ 为最小扩张时，$S_K(a)$ 为单元素集。当 $a$ 在 $K$ 下深度为 1 时，可获得更强的结论。我们还提供了大量实例说明所得界限是严格的。除了独立兴趣外，另一个主要动机来自于鞅理想的研究。在深度为 1 的情况下，当 $K(a)|K$ 为 Galois 扩张时，我们获得了 $S_K(a)$ 基数与扩张 $(K(a)|K,v)$ 的鞅理想个数之间的密切联系。特别是，我们证明当扩张无迹且非狭化，或当 $(K,v)$ 为秩 1 时，这些基数相等。在获得这些结果之前，我们提供了 $(K(a)|K,v)$ 鞅理想的全面描述，这些描述扩展了此方向已知结果。