元素与其共轭元素之间的距离

对于值域场$(K,v)$，其中$v$延伸到代数闭包$\overline K$，以及元素$\theta\in\overline K$，我们关心的是$\theta-\theta'$可能的值，其中$\theta'$遍历$\theta$的所有$K$-共轭。该问题的研究是数论和鞏程论中的经典问题。然而，经典结果聚焦于温顺情况，特别是无失效情况。本文聚焦于失效扩张的研究。我们旨在比较这些值的数量与$\theta$的不变量之间的关系。我们所关注的主要不变量是$\theta$的深度。我们提出了各种示例，表明在失效情况下，等价于经典结果的结论并不成立。我们还讨论了这些值数量与扩张$(K(\theta)/K,v)$的鞏程理想数量之间的关系。为此，我们提出了一些关于鞏程理想的结果，这些结果本身也具有独立的兴趣。