纯对。VII. 含禁用子矩阵的 0/1 矩阵中的齐次子矩阵

对整数 $n>0$，令 $f(n)$ 为最大的全 0 或全 1 方阵 $M$ 的行数，取遍所有 $n\times n$ 的 $0/1$-矩阵 $M$ 的最小值。因此 $f(n)= O(\log n)$。但固定一个矩阵 $H$，并定义 $f_H(n)$ 为同样的量，取遍所有满足 $M$ 及其补矩阵（即把所有 $0$ 变为 $1$，反之亦然）均不含 $H$ 作为子矩阵的 $n\times n$ 的 $0/1$-矩阵 $M$ 的最小值。已知 $f_H(n)\ge \epsilon n^c$，其中 $c, \epsilon>0$ 为依赖于 $H$ 的常数。何时可取 $c=1$？若可以，则 $H$ 与其补矩阵之一必为无环矩阵（即相应的二部图为一森林）。Korandi、Pach 和 Tomon 猜想其逆命题，即对每一个无环矩阵 $H$，$f_H(n)$ 关于 $n$ 是线性的；他们并对仅有两行的某些矩阵 $H$ 证明了该猜想。其猜想仍开放，但我们证明对每一个无环矩阵 $H$ 有 $f_H(n)=n^{1-o(1)}$；并且确实存在一个 $0/1$-子矩阵，其为 $\Omega(n)\times n^{1-o(1)}$ 或 $n^{1-o(1)}\times \Omega(n)$。