拉回图、合冲有限类与 Igusa-Todorov 代数

对于阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$，我们定义 $\mathcal{A}$ 中短正合序列的拉回图范畴 PEx($\mathcal{A}$)，作为固定图范畴 $\Delta$ 的函数范畴 Fun($\Delta, \mathcal{A}$) 的子范畴。对于 ${\rm PEx}(\mathcal{A})$ 中的任意对象 $M$，我们证明存在函子的短正合序列 $0 {\to} K {\to} P {\to} M {\to} 0$，其中对象均在 PEx($\mathcal{A}$) 中，且对任意 $i \in \Delta$ 有 $P(i) \in {\rm Proj(\mathcal{A})}$。作为一个应用，我们证明若 $(\mathcal{C}, \mathcal{D}, \mathcal{E})$ 是 $\mathrm{mod}\,\Lambda$ 中满足某些特殊条件的合冲有限对象三元类，则 $\Lambda$ 是 Igusa-Todorov 代数。最后，我们研究下三角矩阵 Artin 代数，并在合理假设下根据其分量确定这些代数何时是合冲有限的或 Igusa-Todorov 的。