具有 PSL(2) 单绕群的多项式

设 $K$ 为特征 $p>0$ 的域，$q$ 为 $p$ 的幂。在特定的分歧假设下，我们确定了所有满足以下条件的次数为 $q(q-1)/2$ 的多项式 $f \in K[t]\setminus K[t^p]$：$f(t)-u$ 在 $K(u)$ 上的伽罗瓦群拥有一个同构于 $\mathrm{PSL}_2(q)$ 的传递正规子群。作为推论，我们描述了所有次数不为 $p$ 的幂的多项式 $f \in K[t]$，使得 $f$ 在 $K$ 上函数不可分解，但在 $K$ 的某个扩域上可分解。此外，除了一种分歧构型（将在 companion paper arxiv:0707.1837 中处理）外，我们描述了所有次数不为 $p$ 的幂的不可分解例外多项式 $f \in K[t]$；这里的“例外”是指 $x-y$ 是 $f(x)-f(y)$ 在 $K[x,y]$ 中唯一的绝对不可约因子。已知当 $K$ 为有限域时，多项式 $f$ 是例外的当且仅当它在 $K$ 的无穷多个有限扩域上诱导双射。