基于群的扩张步伐的伪随机性

研究扩张图步伐伪随机性属性的一种方法是将扩张图的顶点标记为来自字母表Σ的元素，并研究在Σ^n上对函数的平均值。我们称扩张步伐ε愚弄函数为，当对任何无偏标记的顶点，扩张步伐平均值与真实平均值相差ε。我们展示了： - 对于任意通用λ扩张图和任意字母表Σ，称对称函数为O(|Σ|·λ)-愚弄的扩张步伐。这推广了Cohen、Peri、Ta-Shma等人[STOC'21]的結果，其分析针对|Σ|=2，显著改进了Golowich和Vadhan[CCC'22]的O(|Σ|^{O(|Σ|)}·λ)上界。此外，如果扩张是Σ上的Cayley图，我们得到进一步改进的界为O(√|Σ|·λ)。此外，当Σ为有限群G时，我们对G^n上的函数展示了以下内容： - 如果G为D-准随机，则结构化λ扩张图上的对称类函数被O(√|G|/D·λ)-愚弄。 - 我们为任何有限群G（即使是“结构化”λ扩张图）给出对称函数的Ω(λ)下界。 - 我们研究由单词映射引起的非对称函数的傅里叶谱，表明它们被扩张步伐指数性地愚弄。我们的证明采用一般群上的傅里叶分析，这与之前研究要么针对ℤ_2要么针对ℤ的情况不同。这使我们即使针对非结构化集合也能获得定量更好的界限。