迈向扩展图随机游走对 Read-Once ACC0 电路的伪随机性

扩展图是理论计算机科学中最有用的组合对象之一。一系列工作研究扩展图上的随机游走对各类测试函数类的伪随机性，包括对称函数、只读分支程序、置换分支程序和 $\mathrm{AC}^0$ 电路。扩展图随机游走对 $\mathrm{AC}^0$ 电路的伪随机性所展现的有望结果表明，扩展图随机游走具有超越对称函数的鲁棒性，这引出了一个问题：扩展图随机游走能否欺骗更鲁棒的\emph{非对称}复杂度类，例如 $\mathrm{ACC}^0$。在本工作中，通过考虑 $\mathrm{MOD}[k]$ 门的特定两层电路复合，我们在该问题上取得了进展，证明了这些电路族会被扩展图随机游走所欺骗，其总变差距离误差为 $O(\lambda)$，其中 $\lambda$ 是底层扩展图的第二大特征值。对于 $k\geq 3$，这些电路可以具有高度非对称性并带有复杂的傅里叶特征。在此背景下，我们的工作向欺骗更复杂的非对称电路方向迈出了一步。此外，借鉴学习理论文献，我们在电路族 $\mathrm{TC}^0$ 中构造了一个显式阈值电路，并证明它\emph{不}被扩展图随机游走所欺骗，从而为被扩展图随机游走所欺骗的函数集提供了一个上界。