伪共形结构及Falbel交比簇的例子

我们介绍4维流形上的伪共形结构并研究其性质。这类结构源于两个不同的复算子，它们在切丛的一个2维子丛上一致；因此该子丛构成一个余维数为2的CR结构。一个特例是严格伪共形结构：在这种情况下，这两个复算子在与CR结构互补的一个2维子丛上也是相反的。一个具有（严格）伪共形结构的非平凡流形例子是Falbel的交比簇$\mathfrak{X}$；该簇同构于$S^3$中四元组两两不同点的${\rm PU}(2,1)$构型空间。我们首先证明$\mathfrak{X}$上自然出现两个复结构；这些结构赋予$\mathfrak{X}$一个伪共形结构，该结构与其众所周知的CR结构一致。利用$\mathfrak{X}$的一个非平凡对合，我们进而证明$\mathfrak{X}$是一个严格伪共形流形。本文还详细研究了这个对合的几何意义及其与$\mathfrak{X}$的CR结构和复结构的相互联系。