Jacobi 微分算子幂的定义域性质与分解

我们致力于为 Jacobi 微分算子的幂构建一个不使用经典亏元素的 Self-adjoint extension 理论框架。相反，我们依赖更简单的函数，这些函数捕捉了亏元素对扩展的影响，但由边界渐近性定义。这一新视角使计算大为简便，并允许对相关定义域进行更细致的分析。Jacobi 算子 $n$ 次复合的极大域通过每一阶导数的平滑性条件来刻画，进而对于 $j\in\mathbb{N}_0$，底层 Hilbert 空间中函数的端点行为可由 $(1-x)^j$、$(1+x)^j$、$(1-x)^{-\alpha+j}$ 和 $(1+x)^{\beta+j}$ 进行分类。这些行为中的大多数仅当函数处于相关的极小域中时才会出现，这导致了具有便利基的缺陷空间的表述。随后，利用 GKN 理论，以缺陷空间的新基函数给出了 Self-adjoint extensions，包括重要的左正定域。文中也对 Laguerre 算子进行了评注。