无穷Jacobi矩阵生成的算子的亏数

令 $A_j,B_j$ ($j=0,1,\ldots$) 为 $m \times m$ 矩阵，其元素为复数，$A_j$ 为自伴矩阵且 $B_j^{-1}$ 存在。我们研究由元素为 $A_j,B_j$ 的Jacobi矩阵 $\textbf{J}$ 在序列空间 $l_m^2$（其中 $u=(u_0,u_1, \ldots), u_j \in C^m$）中通过映射 $u \rightarrow \textbf{J}u$ 亦即对 $u \in D_L$ 由公式 $Lu=lu$ 生成的极小闭对称算子 $L$（定义域 $D_L$）的亏指数问题，其中 $lu=((lu)_0,(lu)_1, \ldots)$ 且 $$(lu)_0:=A_0u_0+B_0u_1, \quad (lu)_j:=B^*_{j-1}u_{j-1}+A_ju_j+B_ju_{j+1}, \;\; j=1,2, \ldots$$ 众所周知，算子 $L$ 的极小亏指数情形对应于确定情形，而其极大亏指数情形对应于矩阵幂矩问题的完全不确定情形。本文中，我们根据矩阵 $\textbf{J}$ 的元素得到了算子 $L$ 的极小、极大及非极大亏指数的新条件。特别关注的是 $m=1$ 的情形，即我们给出了数值三对角Jacobi矩阵元素的一些条件，以确保经典幂矩问题的确定情形得以实现。