Leighton 与 Moitra 熵猜想的证明

我们证明 Leighton 和 Moitra 的如下猜想。设 $T$ 是 $[n]$ 上的竞赛图(tournament)，$S_n$ 是 $[n]$ 的排列集合。对于 $T$ 的一条弧 $uv$，令 $A_{uv}=\{\sigma \in S_n \, : \, \sigma(u)<\sigma(v) \}$。$\textbf{定理.}$ 对于固定的 $\varepsilon>0$，若 $\mathbb{P}$ 是 $S_n$ 上的概率分布，使得对 $T$ 的每条弧 $uv$ 有 $\mathbb{P}(A_{uv})>1/2+\varepsilon$，则 $\mathbb{P}$ 的二元熵至多为 $(1-\vartheta_{\varepsilon})\log_2 n!$，其中 $\vartheta_\varepsilon$ 为某个（固定的）正数。当 $T$ 是可递的时，该定理属于 Leighton 和 Moitra；对于此情形，我们给出了一个具有更优 $\vartheta_\varepsilon$ 的简短证明。