滤波子的渐进扩张与阶跃过程的控制问题

在本文中，我们研究在滤波子渐进扩张下阶跃过程 $(X,\mathbb{F})$ 的随机最优控制问题。全局信息通过在参考滤波子 $\mathbb{F}$ 上添加点过程 $H=1_{[\tau,+\infty)}$ 获得。此处 $\tau$ 是一个随机时间，可视为外部冲击事件的发生时刻。我们研究两类控制问题，分别定义在 $[0,T]$ 和随机时域 $[0,T \wedge \tau]$ 上。我们基于由半鞅 $Z=(X,H)$ 的跳跃测度 $\mu^ Z$ 驱动的一类 BSDE 的动态方法解决这些控制问题，其中 $Z$ 是关于扩张滤波子 $\mathbb G$ 的阶跃过程。我们所考虑的 BSDE 可在 $\mathbb{G}$ 中求解，这得益于我们在此建立的一个鞅表示定理。为求解 BSDE 与控制问题，我们需要确保 $Z$ 在扩张滤波子 $\mathbb{G}$ 中是拟左连续的。因此，除 $X$ 的 $\mathbb{F}$-拟左连续性外，我们对 $\tau$ 附加如下条件：$\mathbb{F}$-停时回避（avoidance）性质与沉浸（immersion）性质，或者替代性地满足 Jacod 绝对连续性（absolutely continuity）假设。