具有噪声记忆的系统的最优控制及含 Malliavin 导数的 BSDEs

本文考虑一个随机最优控制问题，其中状态过程 $X(t)$ 的动力学是一个受控的带跳跃、时滞和\emph{噪声记忆}的随机微分方程。据我们所知，“噪声记忆”这一术语是新的。这意味着 $X(t)$ 的动力学依赖于 $\int_{t-\delta}^t X(s) dB(s)$（其中 $B(t)$ 是布朗运动）。因此，由于布朗运动的存在，这种依赖性具有噪声特性，并且由于受到状态过程先前值的影响而涉及记忆。我们通过两种不同的方式推导了该随机控制问题的必要和充分最大值原理，从而得到两组最大值原理。第一组最大值原理是利用 Malliavin 微积分技术推导得出的，而第二组则源于将其归约为离散时滞最优控制问题，并应用了 {\O}ksendal、Sulem 和 Zhang 先前已知的结果。这些最大值原理也适用于控制器仅拥有部分信息的情形，即可容许控制适应于自然滤子的一个子-$\sigma$-代数。